Avstand mellom to plan

Plan alpha og beta med en gitt avstand seg i mellom

Så lenge to plan ikke skjærer hverandre vil de alltid være parallelle. Når du skal finne avstanden mellom to plan sjekker du først om de to planene er parallelle, og om de er parallelle så kan du bruke formelen for avstand fra punkt til plan. For å sjekke om planene er parallelle må du sjekke om normalvektorene er parallelle.

Velg ett punkt i det ene planet $β$ og bruk planlikningen og normalvektoren til det andre planet $α$ . Oppskriften under vil ta deg i mål:

Regel

Avstand mellom to plan

1.

P = (x_{1}, y_{1}, z_{1})

være et punkt i det ene planet

β

og la

a x + b y + c z + d = 0

være likningen for det andre planet $α$ og la ${\vec{n}}_{α} = [a, b, c]$ være normalvektoren til planet $α$ .

2.

Sett verdiene inn i formelen for avstanden mellom punkt og plan, og regn ut avstanden.

Eksempel 1

Gitt at du har to plan, $\begin{array}{l} α : x - 3 y + 2 z = 9, \\ β : x - 3 y + 2 z = 16 . \end{array}$
Finn avstanden mellom dem.

1.: Du finner et punkt i planet $β$ ved å sette to av variablene lik 0. Her velger du $y = 0$ og $z = 0$ . Sett dette inn likningen for $β$ . Da finner du at $x = 16$ . Et punkt i planet $β$ er dermed $P = (16, 0, 0)$ . Normalvektoren til planet $α$ er ${\vec{n}}_{α} = [1, - 3, 2]$ .
2.: Sett inn i formelen og finn avstanden: $\begin{array}{l} D & = \frac{| 1 \cdot 16 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 9 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{| 16 + 0 + 0 - 9 |}{\sqrt{1 + 9 + 4}} \\ = \frac{| 16 - 9 |}{\sqrt{14}} \\ = \frac{7}{\sqrt{14}} . \end{array}$

Forrige oppslag

Avstand mellom linje og plan

Tilbake