Relativ frekvens og de store talls lov

Nå skal du lære om sannsynlighet i dagliglivet. Sannsynligheten for å få en femmer når du kaster en terning, er $\frac{1}{6}$. Men hvordan vet du egentlig at det er akkurat $\frac{1}{6}$?

Hvis du kaster en terning $12$ ganger, er det ikke sikkert at du får en femmer akkurat $\frac{1}{6}$ av gangene. Ved $12$ kast vil det tilsi

$$12\cdot \frac{1}{6}=\frac{12}{6}=2$$

ganger. Det kan hende du får fem femmere, tre femmere eller kanskje ingen femmere.

For å få et svar på hvorfor vi sier at sannsynligheten for å få en femmer når du kaster en terning, er $\frac{1}{6}$, må du lære deg relativ frekvens.

Relativ frekvens

Tenk deg at du kaster en terning $12$ ganger og skriver ned hvor mange femmere du fikk. Den relative frekvensen er forholdstallet mellom hvor mange femmere du fikk (antall gunstige), og hvor mange ganger du kastet terningen (antall mulige). Hvis du fikk tre femmere vil den relative frekvensen være

$$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0,25.$$

Dette er jo mye mer enn hva du forventet, som var $\frac{1}{6}$. Så la oss se på hvorfor.

Den relative frekvensen for å få en femmer når du kaster en terning, trenger ikke være det samme som sannsynligheten $\left(\frac{1}{6}\ne \frac{1}{4}\right)$. Men hvis du kaster en terning veldig mange ganger, for eksempel $100000$ eller $1000000$ ganger, vil den relative frekvensen for å få en femmer være det samme som sannsynligheten for å få en femmer. Det er den store talls lov som forteller noe om hvor mange ganger terningen må kastes for at relativ frekvens skal bli lik sannsynligheten.

Den relative frekvensen er dermed lik sannsynligheten når antall mulige er svært stor!

De store talls lov

Gjennomsnittsalderen på mennesker i Norge er omtrent 39 år. Du er ute blant mennesker og spør de du møter om hvor gamle de er. Etter hver person regner du ut gjennomsnittet på de du har spurt. Hvor mange må du spørre før du får 39 som gjennomsnitt? Kanskje det holder med fem stykker, men kanskje de fem alle er en vennegjeng på ungdomsskolen? Da blir i hvertfall ikke gjennomsnittlig alder 39 år.

Det virker fornuftig at svaret blir 39 hvis du bare spør mange nok. Hvor mange er mange nok?

Det er dette De store talls lov sier noe om.

Med mindre du skal undersøke noe som er meget usannsynlig, så vil et sted mellom $1000$ og $10000$ være mange nok. Det vil være vanskelig å spørre $10000$ tilfeldige personer i Norge om alder og ikke få et svar som er meget nært 39.

Jeg lager en graf over den relative frekvensen til å få en 5’er på terningkastene. $x$-aksen viser antall kast og $y$-aksen er relativ frekvens for å få en 5’er. Den blå linjen er sannsynligheten for å få en 5’er på ett terningkast.

Du kan se fra figuren at etter ca. 1500 kast har den relative frekvensen stabilisert seg meget nær den faktiske sannsynligheten. Nå skal du få se noen eksempler på at det er viktig å kjenne til de store talls lov.

Simulering

Å kaste en terning $1000000$ ganger for å se hvor mange femmere du får, er ganske slitsomt og veldig tidkrevende. Men om du gjorde det, ville du endt opp med å få om lag $166667$ femmere. Det gir en relativ frekvens på $\frac{166667}{1000000}\approx \frac{1}{6}$. Du ser nå at dette ble akkurat det samme som sannsynligheten for å få en femmer! For å unngå å måtte kaste en terning $1000000$ ganger gjør vi heller en simulering. Det vil si at du bruker et dataprogram til å gjøre forsøket for deg.

Å simulere betyr at vi etterlikner et forsøk fra virkeligheten på en datamaskin. Dermed kan vi etterlikne et terningkast på en datamaskin og på svært kort tid gjenta dette mange, mange ganger. Dermed vil du ved hjelp av simuleringer kunne se hva sannsynligheten for en hendelse er. Datamaskinen regner nemlig ut den relative frekvensen for en så stor $N$ at den relative frekvensen blir den samme som sannsynligheten. Datamaskiner er et svært viktig verktøy når vi jobber med sannsynlighet.

Sannsynlighet er et teoretisk mål på hvor sikker du er på at noe kommer til å skje. For eksempel, antall øyne du får når du kaster en terning er en ukjent variabel du kan kalle $X$, mens det å få en sekser er et utfall som du kan kalle $A$. Sannsynligheten for å få en sekser (altså at hendelse $A$ inntreffer) skrives som $P\left(A\right)$ eller som $P\left(X=A\right)$.