...

>Derivasjon>Produktregelen for derivasjon

Produktregelen for derivasjon

Produktregelen er den derivasjonsregelen du bruker når du har to eller flere funksjoner ganget med hverandre.

La $u (x)$ og $v (x)$ være to funksjoner av $x$ . Da har vi en regel vi kan bruke for å finne den deriverte av produktet av disse to funksjonene. Produktet av disse funksjonene vil være den nye funksjonen $u (x) \cdot v (x)$ . For enkelhets skyld, skriver vi bare $u$ og $v$ for funksjonene $u (x)$ og $v (x)$ , men husk at disse er funksjoner av $x$ .

Formel

Produktregelen

{(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'},

der $u = u (x)$ og $v = v (x)$ .

Eksempel 1

Deriver uttrykket $x^{2} \sqrt{2 x}$

Her kaller du $u = x^{2}$ og $v = \sqrt{2 x}$ . Da får du at $u^{'} = 2 x$ og at $v^{'} = \frac{1}{\sqrt{2 x}}$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {(x^{2} \sqrt{2 x})}^{'} & = {(x^{2})}^{'} \cdot \sqrt{2 x} + x^{2} \cdot {(\sqrt{2 x})}^{'} \\ = 2 x \cdot \sqrt{2 x} + x^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x}} \\ = 2 x \sqrt{2 x} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{2 x \sqrt{2 x} \cdot \sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{4 x^{2}}{\sqrt{2 x}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x}} \\ = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{2 x}} \end{array}

Eksempel 2

Deriver uttrykket $e^{x} (2 x^{3} + 3 x)$

Her kaller du $u = e^{x}$ og $v = 2 x^{3} + 3 x$ . Da får du at $u^{'} = e^{x}$ og at $v^{'} = 6 x^{2} + 3$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {[e^{x} (2 x^{3} + 3 x)]}^{'} & = {(e^{x})}^{'} \cdot (2 x^{3} + 3 x) \\ + e^{x} \cdot {(2 x^{3} + 3 x)}^{'} \\ = e^{x} \cdot (2 x^{3} + 3 x) \\ + e^{x} \cdot (6 x^{2} + 3) \\ = 2 x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} \\ = e^{x} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 3) \end{array}

\begin{array}{l} {[e^{x} (2 x^{3} + 3 x)]}^{'} & = {(e^{x})}^{'} \cdot (2 x^{3} + 3 x) + e^{x} \cdot {(2 x^{3} + 3 x)}^{'} \\ = e^{x} \cdot (2 x^{3} + 3 x) + e^{x} \cdot (6 x^{2} + 3) \\ = 2 x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} \\ = e^{x} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 3) \end{array}

Eksempel 3

Deriver uttrykket $(x^{2} + x - 1) \ln x$

Her kaller du $u = x^{2} + x - 1$ og $v = \ln x$ . Da får du at $u^{'} = 2 x + 1$ og at $v^{'} = \frac{1}{x}$ . Regningen blir som følger

\begin{array}{l} {[(x^{2} + x - 1) \ln x]}^{'} & = {(x^{2} + x - 1)}^{'} \cdot \ln x \\ + (x^{2} + x - 1) \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = (2 x + 1) \cdot \ln x \\ + (x^{2} + x - 1) \cdot \frac{1}{x} \\ = 2 x \ln x + \ln x + x + 1 - \frac{1}{x} \end{array}

\begin{array}{l} {[(x^{2} + x - 1) \ln x]}^{'} & = {(x^{2} + x - 1)}^{'} \cdot \ln x + (x^{2} + x - 1) \cdot {(\ln x)}^{'} \\ = (2 x + 1) \cdot \ln x + (x^{2} + x - 1) \cdot \frac{1}{x} \\ = 2 x \ln x + \ln x + x + 1 - \frac{1}{x} \end{array}

Forrige oppslag

Kjerneregelen for derivasjon

Brøkregelen for derivasjon